Question

【题目】设函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后由导数的几何意义即可得出曲线在点处的切线的斜率，最后求出其切线方程即可；（2）首先将问题“对任意，不等式恒成立”转化为“”，然后构造函数，，并求出导函数并进行分类讨论：当时和当时，并分别求出其导函数并判断其单调性，最后结合已知条件即可得出所求的结果．

试题解析：（1）当时，，则，，∴，∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）当时，，．

所以不等式等价于.

令，，

则.

当时，，则函数在上单调递增，所以，

所以根据题意，知有，∴.

当时，由，知函数在上单调增减；

由，知函数在上单调递增.

所以.

由条件知，，即.

设，，则，，

所以在上单调递减.

又，所以与条件矛盾.

综上可知，实数的取值范围为.