Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，已知直线y=kx+l与C交于A、B两点．
（I）写出C的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆过原点0，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有|OA|＞|OB|．

Answer 1

（I）解：设P（x，y），
∵动点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4
∴由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由以AB为直径的圆过原点0，可得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
将直线y=kx+l代入椭圆方程，消元可得（4+k²）x²+2kx-3=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=-
∴y₁y₂=（kx₁+l）（kx₂+l）=
∴-+=0
∴，∴k=；
（Ⅲ）证明：=（）-（）=+=
∵点A在第一象限，∴x₁＞0
∵x₁x₂=-，∴x₂＜0
∴x₁-x₂＞0
∵k＞0，∴，
∴恒有|OA|＞|OB|．
分析：（I）动点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，由椭圆的定义知此动点的轨迹应为椭圆，从而可得动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆过原点0，可得OA⊥OB，从而x₁x₂+y₁y₂=0，将直线y=kx+l代入椭圆方程，消元可得一元二次方程，利用韦达定理，即可求k的值；
（Ⅲ）用坐标表示出，利用点A在第一象限，k＞0，即可证得结论．
点评：本题考查了利用定义法求动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查不等式的证明，关键要理解好椭圆定义的条件，正确运用韦达定理进行解题．