Question

（2011•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F(0，

1

4

)的距离比点P到x轴的距离大

1

4

，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）动点P到定点F(0，

1

4

)的距离与动点P到直线y=-

1

4

的距离相等．由抛物线定义能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y=x2 y=kx+1

得x²-kx-1=0．所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．设M（x₀，y₀），则x0=

k

2

．因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为

k

2

．由此能证明曲线C在点N处的切线与AB平行．
（Ⅲ）设直线l的垂线为l′：y=-

1

k

x+b．代入y=x²，得x2+

1

k

x-b=0．若存在两点D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）关于直线l对称，则

x3+x4

2

=-

1

2k

，

y3+y4

2

=

1

2k2

+b．由此入手能求出k的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F(0，

1

4

)的距离与动点P到直线y=-

1

4

的距离相等．
由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以(0，

1

4

)为焦点，
直线y=-

1

4

为准线的抛物线．
所以曲线C的方程为y=x²．         （3分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=x2 y=kx+1

得x²-kx-1=0．
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
设M（x₀，y₀），则x0=

k

2

．
因为MN⊥x轴，
所以N点的横坐标为

k

2

．
由y=x²，可得y′=2x
所以当x=

k

2

时，y′=k．
所以曲线C在点N处的切线斜率为k，
与直线AB平行．（8分）
（Ⅲ）解：由已知，k≠0．
设直线l的垂线为l′：y=-

1

k

x+b．
代入y=x²，可得x2+

1

k

x-b=0（*）
若存在两点D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）关于直线l对称，
则

x3+x4

2

=-

1

2k

，

y3+y4

2

=

1

2k2

+b
又(

x3+x4

2

，

y3+y4

2

)在l上，
所以

1

2k2

+b=k(-

1

2k

)+1，b=

1

2

-

1

2k2

．
由方程（*）有两个不等实根
所以△=(

1

k

)2+4b＞0，即

1

k2

+2-

2

k2

＞0
所以

1

k2

＜2，
解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，考查运算求解能力，推理论证能力；解题时要注意合理地进行等价转化．