Question

在平面直角坐标系xoy中，动点P到定点(0，

3

)距离与到定直线：y=

4 3

3

的距离之比为

3

2

．设动点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与交于A，B两点，当|

AB

|=

8 2

5

时，求实数k的值．
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有|

OA

|＞|

OB

|.

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），则依题意有：

(x-0)2+(y- 3 )2

|y- 4 3 3 |

=

3

2

，化简得x2+

y2

4

=1，由此可求出曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，消去y并理得（k²+4）x²+2kx-3=0．再由根与系数的关系能够推怀出实数k=±1．
（3）由题意知|

OA

|2-|

OB

|2=(

x

2 1

+

y

2 1

)-(

x

2 2

+

y

2 2

)=x₁²-x₂²+（kx₁+1）²-（kx₂+1）²=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）（1+k²）+2k]=

6k(x1-x2)

k2+4

.由此可知在题设条件下，恒有|

OA

|＞|

OB

|.

解答：解：（1）设P（x，y），则依题意有：

(x-0)2+(y- 3 )2

|y- 4 3 3 |

=

3

2

，化简得x2+

y2

4

=1
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1（4分）
注：若直接用c=

3

，

a 2

c

=

4 3

3

，
得出x2+

y2

4

=1，给（2分）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并理得（k²+4）x²+2kx-3=0
故x1+x2=

-2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

.（5分）
|

AB

|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k)2(x2-x1)2

，
而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=(

-2k

k2+4

)2+

12

k2+4

=

16k2+48

(k2+4)2

∴

64×2

25

=(1+k2)×

16k2+48

(k2+4)2

化简整理得17k⁴+36k²-53=0（7分）
解得：k²=1经检验k=±1时方程※的△＞0∴k=±1
（3）|

OA

|2-|

OB

|2=(

x

2 1

+

y

2 1

)-(

x

2 2

+

y

2 2

)=x₁²-x₂²+（kx₁+1）²-（kx₂+1）²=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）（1+k²）+2k]=

6k(x1-x2)

k2+4

.
因为A在第一象限，故x₁＞0．
由x1x2=-

3

k2+4

知x2＜0，从而k＞0.
故|

OA

|2-|

OB

|2＞0，
即在题设条件下，恒有|

OA

|＞|

OB

|.（12分）

点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．