Question

已知双曲线x²-y²=1，点F₁，F₂为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF₁⊥PF₂，则|PF₁|+|PF₂|的值为________．

Answer 1

分析：根据双曲线方程为x²-y²=1，可得焦距F₁F₂=2，因为PF₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再结合双曲线的定义，得到|PF₁|-|PF₂|=±2，最后联解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，从而得到|PF₁|+|PF₂|的值为．
解答：∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．
∵双曲线方程为x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，可得F₁F₂=2
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8
又∵P为双曲线x²-y²=1上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=±2a=±2，（|PF₁|-|PF₂|）²=4
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|的值为
故答案为：
点评：本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．