Question

3．若a²+1=2b²，a、b∈R，求函数y=|a-2b|的最小值．

Answer 1

分析 作a²+1=2b²与b=$\frac{1}{2}$a的图象，转化求函数y=|a-2b|的最小值为求$\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}$的最小值，从而解得．

解答 解：作a²+1=2b²与b=$\frac{1}{2}$a的图象如下，

当b＞0时，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
b′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得，a=1；
当a=1时，b=1；
故$\frac{|1-2|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故函数y=|a-2b|的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$=1．

点评 本题考查了圆锥曲线的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．