Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

（1）试判断函数的单调性并加以证明；
（2）当f（x）＜a恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可得函数的定义域为R，再利用单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号下结论的步骤进行正面；
（2）将函数整理为f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，从而可求出函数的值域，进而可确定实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数f(x)=

2x-1

2x+1

的定义域为R，
函数f（x）在R上是增函数，
设x₁，x₂是R内任意两个值，并且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+2

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

…（5分）
∵x₁＜x₂∴2x1＜2x2
∴f(x1)-f(x2)=

2(2x1=-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0．
即∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数．…（7分）
（2）f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∵2^x＞0∴2^x+1＞1
∴0＞

2

1+2x

＜2，
∴-2＜

2

1+2x

＜0，
∴-1＜1-

2

1+2x

＜1
即-1＜f（x）＜1…（10分）
当f（x）＜a恒成立时，a≥1…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查恒成立问题，属于中档题．