【题目】已知函数(
).
(1)若,求
的导数;
(2)讨论的单调区间;
(3)设,若对任意
,均存在
,使得
,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)见解析(3)
.
【解析】
(1)根据得到
,再求导.
(2)(
)根据定义域和根的大小,分
,
,
,
四种情况讨论求解.
(3)根据对任意,均存在
,使得
,转化为在
上有
,然后分别求得两个函数的最大值即可.
(1)当时,
,
所以.
(2)(
).可化为
(
).
①当时,
,
,在区间
上,
,在区间
上
,
故的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
②当时,
,在区间
和
上,
;在区间
上
,
故的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
.
③当时,
,故
的单调递增区间是
.
④当时,
,在区间
和
上,
;在区间
上,
,
故的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
.
(3)由已知,在上有
.
因为,
所以,由(2)可知,
①当时,
在
上单调递增,
故,
所以,解得
,
故.
②当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
故.
由可知
,
,
,
所以,,即
,
综上所述,.
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【题目】已知函数(
,常数
).
(1)当时,讨论函数
的奇偶性并说明理由;
(2)若函数在区间
上单调,求正数
的取值范围;
(3)若不等式对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程
;
(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.(参考数据:
,计算结果保留小数点后两位)
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【题目】已知三棱锥P﹣ABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB中点,E是PB中点.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求点B到平面OEC的距离.
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【题目】如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是( )
A. 这15天日平均温度的极差为
B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日,8日,9日三天
C. 由折线图能预测16日温度要低于
D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于
的天数
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【题目】为了鼓励市民节约用电,某市实行“阶梯式”电价,将每户居民的月用电量分为二档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户,为了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年7月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)试估计该小区今年7月份用电量用不超过260元的户数;
(3)估计7月份该市居民用户的平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
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【题目】已知直线方程为,其中
(1)求证:直线恒过定点;
(2)当变化时,求点
到直线的距离的最大值;
(3)若直线分别与轴、
轴的负半轴交于
两点,求
面积的最小值及此时的直线方程.
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【题目】已知为抛物线
上的两个动点,点
在第一象限,点
在第四象限,
分别过点
且与抛物线
相切,
为
的交点.
(Ⅰ)若直线过抛物线
的焦点
,求证动点
在一条定直线上,并求此直线方程;
(Ⅱ)设为直线
与直线
的交点,求
面积的最小值.
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