【题目】已知为抛物线
上的两个动点,点
在第一象限,点
在第四象限,
分别过点
且与抛物线
相切,
为
的交点.
(Ⅰ)若直线过抛物线
的焦点
,求证动点
在一条定直线上,并求此直线方程;
(Ⅱ)设为直线
与直线
的交点,求
面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析,;(Ⅱ)
.
【解析】
试题(I)利用直线与抛物线
相切,求出
方程,可得点
坐标,再求出直线
的方程,即要得结论;(II)求出
的坐标,可得
,表示
面积,利用导数法可求最小值.
试题解析:(Ⅰ)设.
易知斜率存在,设为
,则方程为
由,得
……①
由直线与抛物线
相切,知
.
于是,
方程为
.
同理,方程为
.
联立、
方程可得点
坐标为
,
∵,
方程为
,
过抛物线
的焦点
,
∴,
.
∴,点
在一条定直线
上.
或解:设,则
方程为
,
方程为
.
点坐标满足方程
,
∴直线方程为
,由直线
过点
,知
,
∴,点
在定直线
上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知的坐标分别为
,
.
设.
由知
,
当且仅当时等号成立.
∴.
设,则
.
∴时,
;
时,
.
在区间
上为减函数,在区间
上为增函数.
∴时,
取最小值
.
∴当,即
时,
面积取最小值
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【题目】已知圆的方程为
,直线
的方程为
,点
在直线上,过点
作圆
的切线
,切点为
.
(1)若过点的坐标为
,求切线
方程;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标.
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【题目】如图,有一直径为8米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍,但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要,该光源照射范围是
,点
在直径
上,且
.
(1)若米,求
的长;
(2)设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.
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【题目】下列关于随机变量及分布的说法正确的是( )
A.抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量
B.某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数服从两点分布
C.离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1
D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
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【题目】已知椭圆的离心率是
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
,直线
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当实数变化时,求
的最大值;
(3)求面积的最大值.
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示.
(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求的值;
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)内的人群定义为高消费人群,其他年龄段的人群定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此3人获得代金券总和(单位:元)的分布列与数学期望.
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