Question

【题目】已知函数， .

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点， ，且.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）讨论函数单调区间即解导数大于零求得增区间，导数小于零求得减区间（2）函数有两个不同的零点，先分析函数单调性得零点所在的区间， 在上单调递增，在上单调递减.∵， ， ，∴函数有两个不同的零点，且一个在内，另一个在内.

不妨设， ，要证，即证， 在上是增函数，故，且，即证. 由，得 ，

令 ， ，得在上单调递减，∴，且∴， ，∴，即∴，故得证

解析：（1）当时， ，得，

令，得或.

当时， ， ，所以，故在上单调递减；

当时， ， ，所以，故在上单调递增；

当时， ， ，所以，故在上单调递减；

所以在， 上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：由题意得，其中，

由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

∵， ， ，

∴函数有两个不同的零点，且一个在内，另一个在内.

不妨设， ，

要证，即证，

因为，且在上是增函数，

所以，且，即证.

由，得 ，

令 ， ，

则 .

∵，∴， ，

∴时， ，即在上单调递减，

∴，且∴， ，

∴，即∴，故得证.

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知曲线的参数方程为（为参数）.以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线的极坐标方程为.

（1）求曲线和直线的普通方程；

（2）设为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）最大值为，最小值为

【解析】试题分析：（1）根据参数方程和极坐标化普通方程化法即易得结论的普通方程为；直线的普通方程为.（2）求点到线距离问题可借助参数方程，利用三角函数最值法求解即可故设， .即可得出最值

解析：（1）根据题意，由，得， ，

由，得，

故的普通方程为；

由及， 得，

故直线的普通方程为.

（2）由于为曲线上任意一点，设，

由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为

.

∵ ，

∴ ，即 ，

故点到直线的距离的最大值为，最小值为.