Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足${S}_{n}={n}^{2}{a}_{n}-{n}^{2}（n-1）$，且${a}_{1}=\frac{1}{2}$．
（1）令${b}_{n}=\frac{n+1}{n}{S}_{n}$，证明：b_n-b_n-1=n（n≥2）；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）将a_n=S_n-S_n-1，代入已知等式，化简可证；
（2）利用（1）的结论，用累加法求通项公式．

解答 （1）证明：${S}_{n}={n}^{2}（{S}_{n}-{S}_{n-1}）-{n}^{2}（n-1）$，
所以$\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=\frac{n+1}{n}{S}_{n}-n$，
所以b_n-b_n-1=n（n≥2）．
（2）解：由（1）得到b₁=1，b_n-b_n-1=n，b_n-1-b_n-2=n-1，…，b₂-b₁=2，
累加得${b}_{n}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{2}，{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2n-1}{2}（n≥2）$，
经检验${a}_{1}=\frac{1}{2}$，符合${a}_{n}=\frac{2n-1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2n-1}{2}$．

点评 本题考查了数列前n项和与a_n的关系式运用以及利用累加法求数列的通项公式；属于中档题．