Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．
（1）（文理）求证：PQ∥平面SAD；
（2）（理）如果SA=AB=2，求直线SA与平面SEQ成角的余弦值．
（文）如果SA=AB=2，求点C到平面SAB的距离．

Answer 1

分析 （1）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．
（2）（理）EA，EB，ES为x，y，z为轴建立空间直角坐标系，求出平面SEQ的法向量，即可求直线SA与平面SEQ成角的余弦值．
（文）求出S_△ABC，SE，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，利用等体积方法求点C到平面SAB的距离．

解答 （1）证明：取SD中点F，连结AF，PF． 
∵P，F分别是棱SC，SD的中点，
∴FP∥CD，且FP=$\frac{1}{2}$CD．  
又∵菱形ABCD中，Q是AB的中点，
∴AQ∥CD，且AQ=$\frac{1}{2}$CD．
∴FP∥AQ且FP=AQ．
∴AQPF为平行四边形．
∴PQ∥AF．  
又∵PQ?平面SAD，
AF?平面SAD，
∴PQ∥平面SAD．
（2）（理）EA，EB，ES为x，y，z为轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
$\overrightarrow{SA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EQ}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{ES}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
∴设平面SEQ的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{0+0+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
直线SA与平面SEQ成角的正弦值sin＜$\overrightarrow{SA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由同角三角函数基本关系可知：余弦值cos＜$\overrightarrow{SA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
直线SA与平面SEQ成角的余弦值$\frac{\sqrt{13}}{4}$；
（文）因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD∩平面ABCD=AD，
SE?平面SAD，
所以 SE⊥平面ABCD，
因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsin∠ABC=$\sqrt{3}$．
因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=$\sqrt{3}$．
所以三棱锥S-ABC的体积 V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SE=1，
因为S_△ABS=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
所以点C到平面SAB的距离=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，棱锥的体积的求法，考查线面角，考查计算能力．