Question

已知函数f（x）=lnx-

ax

x+1

，当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数f（x）的导数，通过讨论f′（x）的符号得到函数的单调区间．

解答： 解：∵f′(x)=

1

x

-

a(x+1)-ax

(x+1)2

=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

x＞0，考虑分子x²-（a-2）x+1
当△=a²-4a≤0，即0≤a≤4时，在（0，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当△=a²-4a＞0，即a＞4时，方程x²-（a-2）x+1=0有两个解不相等的实数根：
x₁=

(a-2)- (a-2)2-4

2

，x₂=

(a-2)+ (a-2)2-4

2

，
显然0＜x₁＜x₂，
∵当x∈（0，x₁）或x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）在（

a-2- a2-4a

2

，

a-2+ a2-4a

2

）上单调递减，
在（0，

a-2- a2-4a

2

）和（

a-2+ a2-4a

2

，+∞）上单调递增．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道中档题．