Question

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₆=-5．
（1）求{a_n}的通项a_n和前n项和S_n．
（2）设c_n=

5-an

2

，b_n=2 cn，证明数列{b_n}是等比数列．
（3）设c_n=5-a_n，b_n=

1

cn2-1

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

a1+d=1 a1+4d=-5

，求出a₁=3，d=-2，由此能求出数列的通项公式和前n项和．
（2）由cn=

5-an

2

=

5-(-2n+5)

2

=n，得b_n=2cn=2ⁿ．由此能证明数列{b_n}是等比数列．
（3）由c_n=5-a_n=2n，得b_n=

1

(2n)2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，
∵a₂=1，a₆=-5，
∴

a1+d=1 a1+4d=-5

，
解得a₁=3，d=-2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-2n+5．
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=-n2+4n．
（2）∵a_n=-2n+5，
∴cn=

5-an

2

=

5-(-2n+5)

2

=n，
∴b_n=2cn=2ⁿ．…（7分）
∴

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2（常数），…（9分）
∴数列{b_n}是等比数列．…（10分）
（3）∵c_n=5-a_n=2n …（11分）
∴b_n=

1

(2n)2-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（12分）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．…（14分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．