Question

已知函数f（x）=

ex

xex+1

．
（1）证明：0＜f（x）≤1；
（2）当x＞0时，f（x）＞

1

ax2+1

，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由于e^x＞0，所求证f（x）＞0，故只需分母xe^x+1＞0即可，设函数g（x）=xe^x+1，对g（x）求导，判断函数的单调性，求出最小值，证明最小值大于0即可，所求证的不等式右边，需证明函数f（x）的最大值为1即可，对f（x）求导，判断单调性求最大值；
（2）结合第一问的结论0＜f（x）≤1，讨论a的正负，当a=0时，

1

ax2+1

=1，而f（x）＞1与0＜f（x）≤1矛盾，当a＜0时，当0＜x＜

1

-a

时，

1

ax2+1

＞1与0＜f（x）≤1矛盾，当a＞0时，分母ax²+1＞0，去分母，f（x）＞

1

ax2+1

等价于（ax²-x+1）e^x-1＞0．设出新函数h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，需要讨论a的情况，判断在每种情况下，h（x）是否大于0，综合上述所有情况，写出符合题意的a的取值范围．

解答： （1）证明：设g（x）=xe^x+1，则g′（x）=（x+1）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）≥g（-1）=1-e^-1＞0．
又e^x＞0，故f（x）＞0．
f′（x）=

ex(1-ex)

(xex+1)2

，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）≤f（0）=1．
综上，有0＜f（x）≤1．
（2）解：①若a=0，则x＞0时，f（x）＜1=

1

ax2+1

，不等式不成立．
②若a＜0，则当0＜x＜

1

-a

时，

1

ax2+1

＞1，不等式不成立．
③若a＞0，则f（x）＞

1

ax2+1

等价于（ax²-x+1）e^x-1＞0．（*）
设h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，则h′（x）=x（ax+2a-1）e^x．
若a≥

1

2

，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．
若0＜a＜

1

2

，则当x∈(0，

1-2a

a

)，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）=0．
于是，若a＞0，不等式（*）成立当且仅当a≥

1

2

．
综上，a的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力．