Question

（1）求函数f（x）=2x（5-3x），x∈（0，

5

3

）的最大值．
（2）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）f（x）=2x•（5-3x）=

2

3

×3x（5-3x），根据基本不等式的性质，即可求出，注意等号成立的条件，
（2）灵活利用1=2x+y，化简

1

x

+

1

y

得，再根据基本不等式的性质，即可求出，注意等号成立的条件．

解答： 解：（1）∵x∈（0，

5

3

），
∴5-3x＞0．
∴f（x）=2x•（5-3x）=

2

3

×3x（5-3x）≤

2

3

(

3x+5-3x

2

)2=

25

6

当且仅当3x=5-3x，即x=

5

6

时等号成立．
故f（x）的最大值为

4

6

．
（2）解：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，
所以

1

x

+

1

y

=

x+2y

x

+

x+2y

y

=3+

2y

x

+

x

y

≥3+

2y x • x y

=3+2

2

当且仅当且x+2y=1，即x=

2

-1，y=1-

2

2

时取得等号．
所以

1

x

+

1

y

的最小值为3+2

2

点评：本题主要考查了基本不等式的应用，关键是灵活构造符合基本不等式的形式，属于基础题．