Question

如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（-2，0），平行四边形OAQP的面积为S．
（1）求

OA

•

OQ

+S的最大值；
（2）若CB∥OP，求sin（2θ-

π

6

）的值．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,单位圆与周期性

专题：三角函数的求值

分析：（1）求出A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），然后求解

OA

•

OQ

，以及平行四边形OAQP的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可．
（2）利用三角函数的定义，求出sinθ，cosθ，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值．

解答： 解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，
所以

OQ

=

OA

+

OP

=（1+cosθ，sinθ）．
所以

OA

•

OQ

=1+cosθ．（3分）
又平行四边形OAQP的面积为
S=|

OA

•

OP

|sin θ=sin θ，
所以

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sin θ=

2

sin（θ+

π

4

）+1．（5分）
又0＜θ＜π，
所以当θ=

π

4

时，

OA

•

OQ

+S的最大值为

2

+1．（7分）
（2）由题意，知

CB

=（2，1），

OP

=（cosθ，sinθ），
因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．
又0＜θ＜π，cos²θ+sin²θ=1，
解得sin θ=

5

5

，cos θ=

2 5

5

，
所以sin2θ=2sin θcosθ=

4

5

，cos 2θ=cos²θ-sin²θ=

3

5

．
所以sin（2θ-

π

6

）=sin 2θcos

π

6

-cos 2θsin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．（13分）

点评：本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，三角函数的求值与化简．