Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2

2

=0相切；
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点（1，3）的直线与圆C交于A、B两点，且|AB|=2

3

，求此直线方程；
（3）若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的B、D两点，且满足∠BOD为钝角，求直线l纵截距的取值范围？

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2

2

=0距离为圆的半径，由已知条件能求出圆C的标准方程．
（2）圆心坐标为C（0，0），半径r=2，设直线方程y=k（x-1）+3，由圆心到直线的距离能求出满足条件的直线方程．
（3）设直线方程为y=-x+b，联立

y=-x+b x2+y2=4

，得2x²-2bx+b²-4=0，由此能求出直线l纵截距的取值范围．

解答： 解：（1）根据题意：圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2

2

=0距离为圆的半径，
∴r=

2 2

2

=2，
∴圆C的标准方程为x²+y²=4．
（2）圆心坐标为C（0，0），半径r=2，
∵|AB|=2

3

，∴圆心到直线l的距离d=

4-3

=1，
当直线斜率存在，设为k，则直线方程y=k（x-1）+3，
即kx-y+3-k=0，
圆心到直线的距离为d=

|3-k|

1+k2

=1，
解得k=

4

3

，
∴直线方程为y=

4

3

(x-1)+3，即4x-3y+5=0．
综上，满足条件的直线方程为4x-3y+5=0或x=1．
（3）设直线方程为y=-x+b，
联立

y=-x+b x2+y2=4

，得2x²-2bx+b²-4=0，
设直线l与圆的交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，
∴x1+x2=b，x1x2=

b2-4

2

，①
∵∠BOD为钝角，∴

OB

•

OD

＜0，即满足x₁x₂+y₁y₂＜0，
且

OB

与

OD

不反向共线，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴x1x2+y1y2=2x1x2-b(x1+x2)+b2＜0，②
由①②得b²＜4，满足△＞0，即-2＜b＜2，
当

OB

与

OD

反向共线时，直线y=-x+b过原点，此时b=0，不满足题意，
∴直线l纵截距的取值范围是-2＜b＜2，且b≠0．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离的合理运用．