Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D为BC中点，点E在线段B₁C₁上．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若A₁E∥平面ADC₁，求证：E为线段B₁C₁的中点．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）要证平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁，只需证平面ADC₁内的直线AD⊥平面BCC₁B₁，即证AD垂直平面BCC₁B₁内的两条相交直线CC₁、BC即可；
（2）设点E′是B₁C₁的中点．通过（1）AD⊥BC，D为BC边上的中点，连接DE′，则四边形B₁BDE′为平行四边形，可证四边形A₁ADE为平行四边形，从而A₁E′∥AD，又A₁E′?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，根据线面平行的判定定理可知A₁E′∥平面ADC₁，E与E′重合，即可得出结论．

解答： 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD；
又AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，
又BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）设点E′是B₁C₁的中点
由（1）得AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC边上的中点，
连接DE′，∵点E′是B₁C₁的中点，
∴在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形B₁BDE′为平行四边形，
∴B₁B∥E′D，B₁B=E′D，
又B₁B∥A₁A，B₁B=A₁A，
∴E′D∥A₁A，E′D=A₁A，
∴四边形A₁ADE′为平行四边形．
∴A₁E′∥AD，又A₁E′?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴A₁E′∥平面ADC₁．
∵A₁E∥平面ADC₁，
∴E与E′重合，
∴E为线段B₁C₁的中点．

点评：本题考查了空间中的平面与平面垂直以及直线与平面平行的问题，应熟练地掌握空间中的平行与垂直关系，来解答此类题目．