Question

已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量

e1

=

1 1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量

e2

的坐标之间的关系；
（3）求直线l：2x-4y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义,特征向量的定义

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）先设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量

e1

及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，从而求得另一个特征值为2，设矩阵M的另一个特征向量是

e2

=

x y

，解得特征向量

e2

=

x y

的坐标之间的关系．
（3）设出点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），根据变换前后写出关系式，整理出要求的直线l′的方程．

解答： 解：（1）设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，
则

a b c d

 

1 1

=8 

1 1

=

8 8

，故

a+b=8 c+d=8

  ①

a b c d

-1 2

=

-2 4

，故

-a+2b=-2 -c+2d=4

    ②
由①②联立解得

a=6 b=2 c=4 d=4

，∴M=

6 2 4 4

；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ²-10λ+16，故其另一个特征值为2，
设矩阵M的另一个特征向量是

e2

=

x y

，则

6 2 4 4

x y

=2

x y

，所以2x+y=0；
（3）设点（x，y）是直线l上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则

6 2 4 4

x y

=

x′ y′

，所以x=

1

4

x′-

1

8

y′，y=-

1

4

x′+

3

8

y′，
代入直线l的方程后，化简可得：x′-y′+2=0，即x-y+2=0．
∴直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程为x-y+2=0．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．