Question

（1）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

b+c-a

a

+

a+c-b

b

+

a+b-c

c

＞3
（2）求证：已知：a＞0，求证：

a+5

-

a+3

＞

a+6

-

a+4

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,分析法,综合法

分析：（1）

b

a

与

a

b

，

c

a

与

a

c

，

c

b

与

b

c

全不相等，利用基本不等式证明即可．
（2）用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件即可．

解答： 证明：（1）∵a，b，c全不相等，
∴

b

a

与

a

b

，

c

a

与

a

c

，

c

b

与

b

c

全不相等，
∴

b

a

+

a

b

＞2，

c

a

+

a

c

＞2，

c

b

+

b

c

＞2，
∴

b

a

+

c

a

+

a

b

+

c

b

+

b

c

+

a

c

＞6，
∴

b+c-a

a

+

a+c-b

b

+

a+b-c

c

＞3
（2）要证明：

a+5

-

a+3

＞

a+6

-

a+4

，
只要证明：

a+5

+

a+4

＞

a+6

+

a+3

，
只要证明：2

a+5

•

a+4

＞2

a+6

•

a+3

，
只要证明：a²+9a+20＞a²+9a+18，
只要证明：20＞18，
显然成立，
∴

a+5

-

a+3

＞

a+6

-

a+4

．

点评：本题考查用综合法、分析法证明不等式，用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件．