Question

给出如图所示函数图象

其中可能为函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、①③
• D、③④

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：据图分析，②③④三个图反映出了函数的奇偶性，所以可先看其奇偶性，从函数解析式来判断，不可能是偶函数，所以排除②、④，则答案只能是C．

解答： 解：假设f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立，
即a（-x）³+b（-x）²-cx+d=ax³+bx²+cx+d恒成立，
即-ax³+bx²-cx+d=ax³+bx²+cx+d恒成立，
∴-a=a，b=b，-c=c，d=d，
∴a=0，c=0，与已知a≠0矛盾，
∴f（x）不可能是偶函数．
事实上，因为f′（x）=3ax²+2bx+c，当a＞0，△=4b²-12ac≤0，d＞0时，图象可能是①，当a＞0，c＜0，d=0，且△=4b²-12ac＞0时，图象可能是③．
故选C

点评：这种识图选式（解析式）的问题，若按常规思路，对函数f（x）的性质一一研究，逐个判断，可能就很费时间，所以一般是由图入手，根据图象所反映出来的不同于其它图象的特征对函数式进行分析研究，结合排除法，可能就容易一些．