Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=3，则异面直线AB₁和BC₁所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：连接B₁C交BC₁于E，连接DE，利用四边形BCC₁B₁是平行四边形及其三角形的中位线定理证明DE∥AB₁，可得∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，再利用余弦定理即可得出．

解答： 解：如图所示，
连接B₁C交BC₁于E，连接DE，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB₁，
∴∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，
在△DEB中，DE=

13

2

，BD=

3

，BE=

13

2

．
∴cos∠DEB=

13 4 + 13 4 -3

2• 13 2 • 13 2

=

7

13

．
故答案为：

7

13

．

点评：本题考查了正三棱柱的性质、平行四边形的性质、三角形的中位线定理异面直线所成的角、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．