Question

3．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）讨论函数f（x）的极值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，由题意可得f′（1）=f′（-1）=0，解得a，b，进而得到f（x）的解析式，求得导数，单调区间，进而得到极值；
（2）设出切点，求得切线的斜率，切线方程，代入点（0，16），可得方程，解得切点（-2，-2），进而得到切线方程．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f′（1）=f′（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}3a+2b-3=0\\ 3a-2b-3=0.\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），则f′（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（2）曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足${y_0}=x_0^3-3{x_0}$．
因$f'（{x_0}）=3（x_0^2-1）$，故切线的方程为$y-{y_0}=3（x_0^2-1）（x-{x_0}）$，
注意到点A（0，16）在切线上，有$16-（x_0^3-3{x_0}）=3（x_0^2-1）（0-{x_0}）$，
化简得$x_0^3=-8$，解得x₀=-2．
所以切点为M（-2，-2），
故切线方程为9x-y+16=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．