Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+1=3ⁿ×a⁴_n，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 对递推公式两边取以3为底的对数，即可化简得出log₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$是公比为4的等比数列，继而得出{a_n}的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=3ⁿ×a_n⁴．
∴log₃a_n+1=n+4log₃a_n．
∴log₃a_n+1+$\frac{n+1}{3}$+$\frac{1}{9}$=4（log₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$）．
∴log₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$是以log₃1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$为首项，以4为公比的等比数列．
∴log₃a_n+$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$×4^n-1=$\frac{{4}^{n}}{9}$．
∴a_n=3${\;}^{\frac{{4}^{n}}{9}-\frac{n}{3}-\frac{1}{9}}$=3${\;}^{\frac{{4}^{n}-3n-1}{9}}$．

点评 本题考查数列的通项，等比关系的确定，注意解题方法的积累，属于中档题．