Question

13．给出下面六个命题，不正确的是：②③④
①若向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|=4，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，则$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影等于-1；
②若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且只有两解
③常数列既是等差数列，又是等比数列；
④若向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线，则存在唯一实数λ，使得$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$成立；
⑤在正项等比数列{a_n}中，若a₅a₆=9，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=10；
⑥若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x．则x的取值范围是$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 ①根据向量投影的定义，求出$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影即可；
②由a＞b得出A＞B，得出三角形有且只有一解；
③只有非零常数列满足题意；
④根据共线定理，即可得出原命题错误；
⑤根据等比数列的性质，利用对数的性质即可计算结果；
⑥讨论x为最大边长和x不是最大边长时，求出x的取值范围即可．

解答 解：对于①，∵|$\overrightarrow a$|=2|$\overrightarrow b$|=4，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为120°，
∴$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影等于|$\overrightarrow{b}$|cos120°=2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，命题正确；
对于②，∵B=60°，a=10，b=7，∴a＞b得出A＞B，
∴该三角形有且只有一解，故原命题错误；
对于③，非零常数列既是等差数列（公差为0），
又是等比数列（公比为1），故原命题错误；
对于④，若向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$（$\overrightarrow{b}$≠$\overrightarrow{0}$）共线，则存在唯一实数λ，使得$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$成立，
故原命题错误；
对于⑤，在正项等比数列{a_n}中，若a₅a₆=9，则
log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀=log₃（a₁a₂…a₁₀）=log₃${{{（a}_{5}a}_{6}）}^{5}$=log₃9⁵=10log₃3=10，命题正确；
对于⑥，锐角△ABC中，当x为最大边长时，由余弦定理得，2²+3²-x²＞0，解得3＜x＜$\sqrt{13}$；
当x不是最大边长时，由余弦定理得，2²+x²-3²＞0，解得$\sqrt{5}$＜x≤3；
综上，x的取值范围是$\sqrt{5}$＜x＜$\sqrt{13}$，命题正确．
综上，错误的命题是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了平面向量的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．