Question

4．不等式x²+3y²≥ay（x+y）对任意x，y∈R⁺恒成立，则实数a的最大值为2．

Answer 1

分析 法1：利用参数分离法进行转化，利用分式函数的性质，结合换元法和导数法求函数的极值和最值即可得到结论．
法2：利用分式的特点，结合基本不等式进行求解．

解答 解：∵不等式x²+3y²≥ay（x+y）对任意x，y∈R⁺恒成立，
∴不等式等价为a≤$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
设z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
方法一：z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{1+3（\frac{y}{x}）^{2}}{\frac{y}{x}+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
令k=$\frac{y}{x}$，则z=$\frac{1+3{k}^{2}}{{k}^{2}+k}$，k＞0
则z′=$\frac{6k（{k}^{2}+k）-（1+3{k}^{2}）（2k+1）}{（{k}^{2}+k）^{2}}$=$\frac{3{k}^{2}-2k-1}{（{k}^{2}+k）^{2}}$，
由z′（k）＞0得k＞1，此时函数为增函数，
z′（k）＜0得0＜k＜1，此时函数为减函数，
即当k=1时，z=$\frac{1+3{k}^{2}}{{k}^{2}+k}$取得极小值，同时也是最小值z（1）=$\frac{1+3}{1+1}=\frac{4}{2}=2$，
则a≤2，
则a的最大值为2，
方法二：∵不等式x²+3y²≥ay（x+y）对任意x，y∈R⁺恒成立，
∴不等式等价为a≤$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
设z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，则z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$≥$\frac{2xy+2{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=2，
当且仅当x=y时取等号，
即a≤2，
则a的最大值为2，
故答案为：2

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用分式的性质，结合换元法，导数法求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．