Question

18．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，则不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集为（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性的性质，结合f（0）=0，求出a，利用条件求出b的值，判断函数的单调性，利用函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=b=0，则f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$=$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}a}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{5}{4}}$=$\frac{2a}{5}$=$\frac{2}{5}$，
则a=1，
则f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∵f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，
∴当0＜x＜1时，y=x+$\frac{1}{x}$为减函数，则f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$为增函数，
即f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$在（-1，1）上是增函数，
由（t-1）+f（t）＜0得（t-1）＜-f（t）=f（-t），
则满足$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t-1＜1}\\{-1＜t＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{0＜t＜2}\\{-1＜t＜1}\\{t＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得0＜t＜$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{2}$），
故选：C

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出是f（x）的解析式，并判断函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强．