Question

8．已知a＞2，用放缩法证明不等式：log_a（a-1）•log_a（a+1）＜1．

Answer 1

分析 由a＞2可得，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，运用均值不等式可得log_a（a-1）•log_a（a+1）＜
（$\frac{lo{g}_{a}（a-1）+lo{g}_{a}（a+1）}{2}$）²，再由对数的运算性质和单调性，即可得证．

解答 证明：由a＞2，可得log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
即有log_a（a-1）•log_a（a+1）＜（$\frac{lo{g}_{a}（a-1）+lo{g}_{a}（a+1）}{2}$）²
=（$\frac{lo{g}_{a}（{a}^{2}-1）}{2}$）²＜（$\frac{lo{g}_{a}{a}^{2}}{2}$）²=1．
即有log_a（a-1）•log_a（a+1）＜1．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式和对数函数的单调性，以及不等式的放缩法，考查运算和推理能力，属于中档题．