Question

18．已知a、b、c为正数，求证：$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$．

Answer 1

分析 由条件运用均值不等式，可得a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2c，b+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥2a，c+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥2b，相加，再证a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$，由不等式的传递性，即可得证．

解答 证明：a、b、c为正数，可得
a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{{c}^{2}}{a}}$=2c，
b+$\frac{{a}^{2}}{b}$≥2$\sqrt{b•\frac{{a}^{2}}{b}}$=2a，
c+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥2$\sqrt{c•\frac{{b}^{2}}{c}}$=2b，
相加可得$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c，
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，
相加可得a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$．
由不等式的传递性，可得
$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$
（当且仅当a=b=c取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用变形和基本不等式，以及不等式的性质：可加性和传递性，考查推理能力，属于中档题．