Question

9．在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos²α+cos²β=1类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ，则有cos²α+cos²β+cos²γ=2．

Answer 1

分析 由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可．

解答 解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．
由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos²α+cos²β=1，
我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图
对角线AC₁与过A点的三个面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分别为α，β，γ，
∴cosα=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$，cosβ=$\frac{A{B}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosγ=$\frac{A{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，
令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos²α+cos²β+cos²γ=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}+{c}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=2
故答案为：2．

点评 本题考查类比推理及棱柱的结构特征，线面角的定义，综合性强是一个常考的题型．