Question

17．给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②若函数y=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ+$\frac{π}{4}}$）为偶函数，则φ=-$\frac{π}{4}$-kπ，k∈Z；
③x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}}$）的一条对称轴方程；
④若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；
⑤过点P（-1，6）且与圆（x+3）²+（y-2）²=4相切的直线方程是3x-4y-27=0；
⑥过原点O作圆x²+y²-8x=0的弦OA，则弦OA的中点N的轨迹方程为x²+y²-4x=0，
其中正确的命题是②③．

Answer 1

分析 ①根据三角函数函数的有界性进行判断，
②根据三角函数偶函数的性质进行判断，
③根据正弦函数的对称性进行判断，
④根据正弦函数的单调性的关系进行判断
⑤根据直线斜率不垂直时也满足条件进行排除，
⑥根据轨迹方程进行判断．

解答 解：①sinα•cosα=$\frac{1}{2}$sin2α∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，则存在实数α，使sinα•cosα=1错误；故①错误，
②若函数y=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ+$\frac{π}{4}}$）为偶函数，则-φ+$\frac{π}{4}}$=$\frac{π}{2}$+kπ，则φ=-$\frac{π}{4}$-kπ，k∈Z，正确，故②正确，
③当x=$\frac{π}{8}$时，函数y=sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5π}{4}}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1为最小值，则x=$\frac{π}{8}$是函数的一条对称轴方程；故③正确，
④若α=390°，β=30°，满足α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα=sinβ；故④错误，
⑤圆（x+3）²+（y-2）²=4的圆心坐标为C（-3，2），半径r=2，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为x=-1，圆心C到直线x=-1的距离d=|-3-（-1）|=2=r，
即x=-1也和圆相切，故⑤错误；
⑥解：设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），
A点坐标满足圆x²+y²-8x=0的方程，
所以（2x）²+（2y）²-16x=0
所以M点轨迹方程为x²+y²-4x=0，（在圆x²+y²-8x=0内的部分），故过原点O作圆x²+y²-8x=0的弦OA，则弦OA的中点N的轨迹方程为x²+y²-4x=0错误，故⑥错误，
故答案为：②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的性质，直线和圆的位置关系以及轨迹问题，综合性较强，但难度不大．