Question

6．在数列{a_n}中，若a₁=1，a_n•a_n+1=（$\frac{1}{4}$）^n-2，则满足不等式$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$＜2016的正整数n的最大值为5．

Answer 1

分析 由递推式可得数列{a_n}的奇数项和偶数项均组成公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，利用等比数列的求和公式分别计算奇数项倒数之和与偶数项倒数之和，得出答案．

解答 解：∵a_n•a_n+1=（$\frac{1}{4}$）^n-2，
∴a_n+1•a_n+2=（$\frac{1}{4}$）^n-1．
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{4}）^{n-1}}{（\frac{1}{4}）^{n-2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项均组成公比为$\frac{1}{4}$的等比数列．
∵a₁=1，a₂=4，
∴{$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
{$\frac{1}{{a}_{2n}}$}是以$\frac{1}{4}$为首项，以4为公比的等比数列．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$=$\frac{1-{4}^{n+1}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$．
$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{12}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$+$\frac{{4}^{n}-1}{12}$=$\frac{{4}^{n+2}+{4}^{n}-5}{12}$．
∴$\frac{{4}^{n+2}+{4}^{n}-5}{12}$＜2016，解得4ⁿ＜$\frac{2016×12+5}{17}$≈1423.4．
∵4⁵=1024，4⁶=4096．
∴n的最大正整数解为5．
故答案为5．

点评 本题考查了等比关系的确定，等比数列的求和公式，属于中档题．