Question

16．已知直线l：x-y=1与圆Γ：x²+y²-2x+2y-1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{30}$
• B． $2\sqrt{30}$
• C． $\sqrt{51}$
• D． $2\sqrt{51}$

Answer 1

分析 先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．

解答 解：把圆Γ：x²+y²-2x+2y-1=0化为标准方程：（x-1）²+（y+1）²=3，圆心（1，-1），半径r=$\sqrt{3}$．
直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d=$\frac{|1×1-1×（-1）-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由勾股定理的半弦长=$\sqrt{3-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，所以弦长|AB|=2×$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\sqrt{10}$．
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，
四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，
当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），
两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：S=$\frac{1}{2}$×|AB|×|CE|+$\frac{1}{2}$×|AB|×|DE|=$\frac{1}{2}|AB|•|CD|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{30}$．
故选：A．

点评 本题涉及到圆与位置关系的题目，可采用数形结合思想，实现代数和几何间的转化，然后分析题目具体问题，求解即可，属于中档题