Question

13．当a＞b＞0时，用比较法证明a^ab^b＞${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．

Answer 1

分析 运用作商比较法，结合指数的运算性质，以及指数函数的单调性，即可得证．

解答 证明：当a＞b＞0时，
$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=a${\;}^{a-\frac{a+b}{2}}$•b${\;}^{b-\frac{a+b}{2}}$
=a${\;}^{\frac{a-b}{2}}$•b${\;}^{\frac{b-a}{2}}$=（$\frac{a}{b}$）${\;}^{\frac{a-b}{2}}$，
由a-b＞0，$\frac{a}{b}$＞1，
可得（$\frac{a}{b}$）${\;}^{\frac{a-b}{2}}$＞（$\frac{a}{b}$）⁰=1，
则a^ab^b＞${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作商比较法，以及指数函数的单调性，考查推理能力，属于中档题．