Question

13．已知直线l：mx-y=1，若直线l与直线x+m（m-1）y=2垂直，则m的值为0或2，动直线l被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦长为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由直线l：mx-y=1与直线x+m（m-1）y=2垂直的性质能求出m；求出圆C：x²-2x+y²-8=0的圆心、半径，由直线l：mx-y=1过定点P（0，-1），当直线l与定点P（0，-1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的弦长最短，由此能求出动直线l被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦长．

解答 解：∵直线l：mx-y=1与直线x+m（m-1）y=2垂直，
∴m×1+（-1）×m（m-1）=0，
解得m=0或m=2．
圆C：x²-2x+y²-8=0的圆心C（1，0），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+32}$=3，
直线l：mx-y=1过定点P（0，-1），
当直线l与定点P（0，-1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，
直线l被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的弦长最短，
∵|PC|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴最短弦长为：2$\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：0或2，2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查弦长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质、圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．