Question

【题目】设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.

（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；

（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；

（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

(3)见解析.

【解析】分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2）∵，∴，即证-在R上成立即可；（3）构造函数，因为是“超导函数”， ∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减， 故方程等价于，即，

设 ，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论.

详解：

（1）举例：函数是“超导函数”，

因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.

注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.

（2）∵，∴，

∴

因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①

而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②

由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.

（3）∵，所以方程可化为，

设函数，，则原方程即为，③

因为是“超导函数”， ∴对任意实数成立，

而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，

故方程③等价于，即，

设 ，，则在上恒成立，

故在上单调递增，

而，，且函数的图象在上连续不断，

故 在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.