Question

【题目】已知正项数列{an} 为等比数列，等差数列{bn} 的前n 项和为Sn （n∈N* ），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，a1=b2，a3=b3．

（1）求数列{an}，{bn} 的通项公式；

（2）设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （n∈N* ），求Tn；

（3）设，是否存在正整数m，使得cm·cm+1·cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，m=2．

【解析】分析：（1）先根据已知条件列方程求出b1=﹣2，d=3,得到等差数列{bn}的通项，再求出，即得等比数列{an}的通项.(2)利用错位相减法求Tn.(3)对m分类讨论，探究是否存在正整数m，使得cm·cm+1·cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2）．

详解：（1）等差数列{bn} 的前n 项和为Sn （n∈N* ），且满足：S13=208，S9﹣S7=41，

即解得b7=16，公差为3，

∴b1=﹣2，bn=3n﹣5，

∵a1=b2=1，a3=b3=4，数列{an} 为等比数列，

∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+（3n﹣5）2n﹣1，①

∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+（3n﹣5）2n，②

①﹣①得﹣Tn=﹣2+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣5）2n=（8﹣3n）2n﹣8，

∴Tn=（3n﹣8）2n+8，n∈N*

（3）∵设，

当m=1时，c1c2c3+8=1×1×4+8=12，3（c1+c2+c3）=18，不相等，

当m=2时，c2c3c4+8=1×4×7+8=36，3（c2+c3+c4）=36，成立，

当m≥3且为奇数时，cm，cm+2为偶数，cm+1为奇数，

∴cmcm+1cm+2+8为偶数，3（cm+cm+1+cm+2）为奇数，不成立，

当m≥4且为偶数时，若cmcm+1cm+2+8=3（cm+cm+1+cm+2），

则（3m﹣5）2m（3m+1）+8=3（3m﹣5+2m+3m+1），

即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）

∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，

∴（*）不成立，综上所述m=2．