【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 数列{bn},{cn}满足 (n+1)bn=an+1﹣ ,(n+2)cn=
﹣
,其中n∈N*.
(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;
(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn , 求证:数列{an}是等差数列.
【答案】
(1)解:∵数列{an}是公差为2的等差数列,∴an=a1+2(n﹣1), =a1+n﹣1.
∴(n+2)cn= ﹣(a1+n﹣1)=n+2,解得cn=1
(2)证明:由(n+1)bn=an+1﹣ ,
可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1,
相减可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn,
可得:(n+2)cn= ﹣
=
﹣[an+1﹣(n+1)bn]
= +(n+1)bn=
+(n+1)bn=
(bn+bn﹣1),
因此cn= (bn+bn﹣1).∵bn≤λ≤cn,
∴λ≤cn= (bn+bn﹣1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.
∴(n+1)λ=an+1﹣ ,(n+2)λ=
(an+1+an+2)﹣
,
相减可得: (an+2﹣an+1)=λ,即an+2﹣an+1=2λ,(n≥2).
又2λ= =a2﹣a1,则an+1﹣an=2λ(n≥1),∴数列{an}是等差数列
【解析】(1)数列{an}是公差为2的等差数列,可得an=a1+2(n﹣1), =a1+n﹣1.代入(n+2)cn=
﹣
即可得出cn . (2)由(n+1)bn=an+1﹣
,可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn , (n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1 , 相减可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn , 代入化简可得cn=
(bn+bn﹣1).bn≤λ≤cn , λ≤cn=
(bn+bn﹣1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.进而得出.
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么这个数列就叫做等差数列;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只来测试,直到这4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现,则不同情况种数是______(用数字作答)
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【题目】在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a-c)cosB
(1)求cosB
(2)若△ABC的面积为4,b=4
,求△ABC的周长
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【题目】已知正项数列{an} 为等比数列,等差数列{bn} 的前n 项和为Sn (n∈N* ),且满足:S13=208,S9﹣S7=41,a1=b2,a3=b3.
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式;
(2)设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn (n∈N* ),求Tn;
(3)设,是否存在正整数m,使得cm·cm+1·cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2).
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【题目】假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有4发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求:
(1)X的概率分布;
(2)数学期望E(X).
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【题目】某投资公司计划投资两种金融产品,根据市场调查与预测,
产品的利润
与投资金额
的函数关系为
,
产品的利润
与投资金额
的函数关系为
(注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司现有100万元资金,并计划全部投入两种产品中,其中
万元资金投入
产品,试把
两种产品利润总和
表示为
的函数,并写出定义域;
(2)怎样分配这100万元资金,才能使公司的利润总和获得最大?其最大利润总和为多少万元.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
.
(Ⅰ)求曲线,
的标准方程;
(Ⅱ)若点,
在曲线
上,求
的值.
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