Question

【题目】某地计划在一处海滩建造一个养殖场.

（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场的面积最大，并求其最大面积.

（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为；试求出的最大值和（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好.

Answer 1

【答案】（1），平方千米（2）平方千米，约为0.144平方千米，方案二更好.

【解析】

（1）设，则，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出.

（2）方案一：设，则.则，利用基本不等式的性质即可得出最大值.

方案二：设半径，则.解得.

可得，即可比较出与的大小关系.

解：（1）设，

则，

可得，

当且仅当时取等号.

.

当且仅当时，

养殖场的面积最大，（平方千米）

（2）方案一：设，

则.

则，

当且仅当时取等号.

（平方千米），

方案二：设半径，

则.解得.

（平方千米）

，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好.