【题目】设集合、
均为实数集
的子集,记:
;
(1)已知,
,试用列举法表示
;
(2)设,当
,且
时,曲线
的焦距为
,如果
,
,设
中的所有元素之和为
,对于满足
,且
的任意正整数
、
、
,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(3)若整数集合,则称
为“自生集”,若任意一个正整数均为整数集合
的某个非空有限子集中所有元素的和,则称
为“
的基底集”,问:是否存在一个整数集合既是自生集又是
的基底集?请说明理由.
【答案】(1) (2)
(3)存在,理由见解析
【解析】
(1)根据新定义,结合已知中的集合
、
,可得答案;
(2)曲线表示双曲线,进而可得
,
,则
,结合
且
及基本不等式,可得
进而得到答案;
(3)设整数集合,其中
为斐波那契数列,即
,
,
,
①由得:
,可得
是自生集;
②对于任意,对于任一正整数
,存在集合
的一个有限子集
,使得
,(
,
),再用数学归纳法证明集合
又是
的基底集.
解:(1)∵;
当,
时,
;
(2)曲线,即
,在
时表示双曲线,
故,
∴,
∵,
∴中的所有元素之和为
,
∴,
∵,且
,
∴,
∴,
即实数的最大值为
;
(3)存在一个整数集合既是自生集又是的基底集,理由如下:
设整数集合,其中
为斐波那契数列,
即,
,
,
下证:整数集合既是自生集又是
的基底集,
①由得:
,
故是自生集;
②对于任意,对于任一正整数
,存在集合
的一个有限子集
,
使得,(
,
),
当时,由
,
,
,
,知结论成立;
假设结论对时成立,
则时,只须对任何整数
讨论,
若,则
,
,
故,
,
由归纳假设,可以表示为集合
中有限个绝对值小于
的元素的和.
因为,
所以可以表示为集合
中有限个绝对值小于
的元素的和.
若,则结论显然成立.
若,则
,
,
由归纳假设知,可以表示为集合
中有限个绝对值小于
的元素的和.
所以,当时结论也成立;
由于斐波那契数列是无界的,
所以,任一个正整数都可以表示成集合的一个有限子集中所有元素的和.
因此集合又是
的基底集.
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【题目】如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面
侧面
,
,楔面
是边长为2的正三角形,点
在侧面
的射影是矩形
的中心
,点
在
上,且
(1)证明:平面
;
(2)求楔面与侧面
所成二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,过椭圆:
的左右焦点
分别作直线
,
交椭圆于
与
,且
.
(1)求证:当直线的斜率
与直线
的斜率
都存在时,
为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地计划在一处海滩建造一个养殖场.
(1)如图1,射线OA,OB为海岸线,,现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个
的养殖场,问如何选取点P,Q,才能使养殖场
的面积最大,并求其最大面积.
(2)如图2,直线l为海岸线,现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一:围成三角形OAB(点A,B在直线l上),使三角形OAB面积最大,设其为;方案二:围成弓形CDE(点D,E在直线l上,C是优弧所在圆的圆心且
),其面积为
;试求出
的最大值和
(均精确到0.01平方千米),并指出哪一种设计方案更好.
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【题目】为了鼓励职员工作热情,某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分;年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示:
(1)根据职员的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数;
(2)若记职员的工作业绩的月平均数为
.
①已知该公司还有6位职员的业绩在100以上,分别是,
,
,
,
,
,在这6人的业绩里随机抽取2个数据,求恰有1个数据满足
(其中
)的概率;
②由于职员的业绩高,被公司评为年度最佳职员,在公司年会上通过抽奖形式领取奖金.公司准备了9张卡片,其中有1张卡片上标注奖金为6千元,4张卡片的奖金为4千元,另外4张的奖金为2千元.规则是:获奖职员需要从9张卡片中随机抽出3张,这3张卡片上的金额数之和就是该职员所得奖金.记职员
获得的奖金为
(千元),求
的分布列和期望.
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【题目】斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°,∠B1BC=60°,BC=BB1=2,若二面角A﹣B1B﹣C为30°
(1)求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值;
(2)在平面AA1B1B内找一点P,使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥,并求P到平面BB1C距离.
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