【题目】如图,过椭圆:
的左右焦点
分别作直线
,
交椭圆于
与
,且
.
(1)求证:当直线的斜率
与直线
的斜率
都存在时,
为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析: (1)设 ,分别将
坐标代入椭圆中,得出两等式,相减得出
,写出
的表达式,化简得出结果; (2)设直线
的方程
,联立直线
的方程和椭圆方程,求出
,算出
的表达式,而
,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四边形
面积的最大值.
试题解析: (1)设,
,根据对称性,有
,因为
,
都在椭圆
上,所以
,
,二式相减得,
,所以
为定值.
(2)当的倾斜角为
时,
与
重合,舍去.
当的倾斜角不为0时,由对称性得四边形
为平行四边形,
,设直线
的方程为
,代入
,得
.显然
,
,
.
所以
设,所以
,
.所以
.
当且仅当即
时等号成立,所以
.
所以平行四边形面积的最大值为.
点睛: 本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.解题技巧: 在(1)中,采用设而不求;在(2)中, 设直线 的方程
比
好,因为联立直线与椭圆方程计算量减少,还有
,由韦达定理可求出
.在求三角形
面积最大值时,将
看成一个整体,利用基本不等式求出最大值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(Ⅰ)在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
为参数,
),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)写出的极坐标方程;
(2)若为曲线
上的两点,且
,求
的范围.
(Ⅱ)已知函数,
.
(1) 时,解不等式
;
(2)若对任意,存在
,使得
,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(Ⅰ) 求曲线与
交点的平面直角坐标;
(Ⅱ) 点分别在曲线
,
上,当
最大时,求
的面积(
为坐标原点).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数 ,且f(1)=2,f(2)=3. (I)若f(x)是偶函数,求出f(x)的解析式;
(II)若f(x)是奇函数,求出f(x)的解析式;
(III)在(II)的条件下,证明f(x)在区间 上单调递减.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的零点;
(3)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.
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【题目】如图,在多面体中,底面
是边长为2的菱形,
,四边形
是矩形,平面
平面
.
(1)在图中画出过点的平面
,使得
平面
(必须说明画法,不需证明);
(2)若二面角是
,求
与平面
所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正四棱柱的底面边长为,高为
,现从该正四棱柱的
个顶点中任取
个点.设随机变量
的值为以取出的
个点为顶点的三角形的面积.
(1)求概率;
(2)求的分布列,并求其数学期望
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC=90°,平面ABCD外一点P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上, PA=AD=2 BC=2,CD=.
(1)若平面PQB⊥平面PAD,求证:Q为线段AD中点;
(2)在(1)的条件下,若M在线段PC上,且PA∥平面BMQ,求点M到平面PAB的距离.
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