【题目】已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
【答案】
（1）解：要使函数有意义：则有 
，解之得：﹣3＜x＜1，
则函数的定义域为：（﹣3，1）
（2）解：函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，
即x2+2x﹣2=0， 
∵ 
，∴函数f（x）的零点是 
（3）解：函数可化为：
f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，
即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，
∴ 
【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值loga4，得loga4=﹣4利用对数的定义求出a的值．
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【题目】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆： 
的离心率为
，直线l：y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线
与
的斜率分别为
， 
．
① 求证： 
为定值；
② 求△CEF的面积的最小值.
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【题目】设函数f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．
（Ⅰ）若对
x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求实数t的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝2M．证明：a＋b≥2ab．
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【题目】如图，过椭圆
： 
的左右焦点
分别作直线
， 
交椭圆于
与
，且
.
（1）求证：当直线
的斜率
与直线
的斜率
都存在时， 
为定值；
（2）求四边形
面积的最大值.
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【题目】某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中
的值并估计居民月均用电量的中位数；
（Ⅱ）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．
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【题目】已知向量
=（2cos
， 
sin
），
=（cos
，2cos
），（ω＞0），设函数f（x）=
，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
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【题目】甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在
内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：
甲企业：
乙企业：
（1）已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差
，该企业生产的零件质量指标值
服从正态分布
，其中
近似为质量指标值的样本平均数
（注：求
时，同一组数据用该区间的中点值作代表），
近似为样本方差
，试根据该企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率.（精确到0.001）
（2）由以上统计数据完成下面
列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
附注：
参考数据： 
，
参考公式： 
， 
，
.
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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