【题目】已知函数
(1)当时,证明:
;
(2)若在
上有且只有一个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1) 将的值代入,再求出函数
的最小值,即可证明;
(2)对进行分类讨论,当
可得函数
有无数个零点,
求导数
,确定
为负故
符合题意,当
时,求导函数
,对导数
再求一次导,再对
进行分类讨论,同时利用奇偶性可得当
时
在
上有且只有一个零点,当
时,利用零点定理取一个特值,判断出不合题意,得出
的取值范围.
(1)当时,
,
所以的定义域为R,且
故
为偶函数.
当时,
,
记,所以
.
因为,所以
在
上单调递增,
即在
上单调递增,
故,
所以在
上单调递增,所以
,
因为为偶函数,所以当
时,
.
(2)①当时,
,令
,解得
,
所以函数有无数个零点,不符合题意;
②当时,
,当且仅当
时等号成立,故
符合题意;
③因为,所以
是偶函数,
又因为,故
是
的零点.
当时,
,记
,则
.
1)当时,
,
故在
单调递增,故当
时,
即
,
故在
单调递增,故
所以在
没有零点.
因为是偶函数,所以
在
上有且只有一个零点.
2)当时,当
时,存在
,使得
,且当
时,
单调递减,故
,
即时,
,故
在
单调递减,
,
又,所以
,
由零点存在性定理知在
上有零点,又因为
是
的零点,
故不符合题意;
综上所述,a的取值范围为
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【题目】设(
、
为实常数).
(1)当时,证明:
不是奇函数;
(2)设是奇函数,求
与
的值;
(3)当是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集
,对任何属于
的
、
,都有
成立?若存在试找出所有这样的
;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系圆C的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(t为参数),直线
和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆C及直线的直角坐标方程;
(2)求面积的最大值.
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【题目】已知函数.
(1)若,且
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)若对任意,存在
使
,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数,使得当
时,
恒成立,求实数
的最大值.
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下命题:
①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是;
②当时,直线
与黑色阴影部分有公共点;
③黑色阴影部分中一点,则
的最大值为2.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①B.②C.①③D.①②
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【题目】如图,直三棱柱的底面
是等腰直角三角形,
,侧棱
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求直三棱柱的全面积;
(2)求异面直线与
所成角
的大小(结果用反三角函数表示);
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【题目】设集合、
均为实数集
的子集,记:
;
(1)已知,
,试用列举法表示
;
(2)设,当
,且
时,曲线
的焦距为
,如果
,
,设
中的所有元素之和为
,对于满足
,且
的任意正整数
、
、
,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(3)若整数集合,则称
为“自生集”,若任意一个正整数均为整数集合
的某个非空有限子集中所有元素的和,则称
为“
的基底集”,问:是否存在一个整数集合既是自生集又是
的基底集?请说明理由.
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【题目】已知椭圆:
过点
,过坐标原点
作两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于
,
两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆
的离心率为
.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线
总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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