【题目】已知椭圆:
过点
,过坐标原点
作两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于
,
两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆
的离心率为
.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线
总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
(1)将点代入椭圆方程得到
,结合基本不等式,求得
取得最小值时
,进而证得椭圆的离心率为
.
(2)当直线的斜率不存在时,根据椭圆的对称性,求得
到直线
的距离.当直线
的斜率存在时,联立直线
的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用
,则
列方程,求得
的关系式,进而求得
到直线
的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在,进而求得定圆的方程.
(1)证明:∵椭圆经过点
,∴
,
∴,
当且仅当,即
时,等号成立,
此时椭圆的离心率
.
(2)解:∵椭圆的焦距为2,∴
,又
,∴
,
.
当直线的斜率不存在时,由对称性,设
,
.
∵,
在椭圆
上,∴
,∴
,∴
到直线
的距离
.
当直线的斜率存在时,设
的方程为
.
由,得
,
.
设,
,则
,
.
∵,∴
,
∴,
∴,即
,
∴到直线
的距离
.
综上,到直线
的距离为定值,且定值为
,故存在定圆
:
,使得圆
与直线
总相切.
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【题目】甲、乙两人各进行次射击,甲每次击中目标的概率为
,乙每次击中目标的概率
,
(Ⅰ)记甲击中目标的次数为,求
的概率分布及数学期望;
(Ⅱ)求甲恰好比乙多击中目标次的概率.
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【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别是
,
,
,
是其左右顶点,点
是椭圆
上任一点,且
的周长为6,若
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点且斜率不为0的直线交椭圆
于
,
两个不同点,证明:直线
与
的交点在一条定直线上.
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【题目】某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作,则G可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率;
(2)该电子产品共由3个系统G组成,设E为电子产品需要维修的系统所需的费用,求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C可以正常工作,问:
满足什么条件时,可以提高整个G系统的正常工作概率?
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【题目】为认真贯彻落实党中央国务院决策部署,坚持“房子是用来住的,不是用来炒的”定位,坚持调控政策的连续性和稳定性,进一步稳定某省市商品住房市场,该市人民政府办公厅出台了相关文件来控制房价,并取得了一定效果,下表是2019年2月至6月以来该市某城区的房价均值数据:
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 9.80 | 9.70 | 9.30 | 9.20 |
已知:.
(1)若变量、
具有线性相关关系,求房价均价
(千元/平方米)关于月份
的线性回归方程
;
(2)根据线性回归方程预测该市某城区7月份的房价.
(参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
)
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【题目】如图1,直线将矩形纸
分为两个直角梯形
和
,将梯形
沿边
翻折,如图2,在翻折的过程中(平面
和平面
不重合),下面说法正确的是
图1 图2
A.存在某一位置,使得平面
B.存在某一位置,使得平面
C.在翻折的过程中,平面
恒成立
D.在翻折的过程中,平面
恒成立
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【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次普查,为此需要抽验1000人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案②:按
个人一组进行随机分组,把从每组
个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这
个人的血只需检验一次(这时认为每个人的血化验
次);否则,若呈阳性,则需对这
个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组
个人的血总共需要化验
次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为
,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案②中,某组个人的每个人的血化验次数为
,求
的分布列;
(2)设,试比较方案②中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)
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