【题目】某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作,则G可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率;
(2)该电子产品共由3个系统G组成,设E为电子产品需要维修的系统所需的费用,求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C可以正常工作,问:满足什么条件时,可以提高整个G系统的正常工作概率?
【答案】(1);(2)见解析;(3) 当时,可以提高整个系统的正常工作概率.
【解析】
(1)由条件,利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率;
(2)设为维修维修的系统的个数,根据题意可得,从而得到,利用公式写出分布列,并求得期望;
(3)根据题意,当系统有5个电子元件时,分析得出系统正常工作对应的情况,分类得出结果,求得相应的概率,根据题意列出式子,最后求得结果.
(1)系统不需要维修的概率为.
(2)设为维修维修的系统的个数,则,且,
所以.
所以的分布列为
0 | 500 | 1000 | 1500 | |
所以的期望为.
(3)当系统有5个电子元件时,
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作,系统的才正常工作.
若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作,
则概率为;
若前3个电子元件中有两个正常工作,
同时新增的两个至少有1个正常工作,
则概率为;
若前3个电子元件中3个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作,
系统均能正常工作,则概率为.
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为,
于是由知,当时,即时,
可以提高整个系统的正常工作概率.
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【题目】定义:首项为且公比为正数的等比数列为“数列”.
(Ⅰ)已知等比数列()满足:,,判断数列是否为“数列”;
(Ⅱ)设为正整数,若存在“数列”( ),对任意不大于的正整数,都有成立,求的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于,两点,当直线与轴垂直时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当直线与轴不垂直时,在轴上是否存在一点(异于点),使轴上任意点到直线,的距离均相等?若存在,求点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆的右焦点为,且离心率,过点且斜率为的直线交椭圆于点,两点,为的中点,过作直线的垂线,直线与直线相交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:点在一条定直线上;
(3)当最大时,求的面积.
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【题目】如图所示,在直角梯形中,,,,,,两点分别在线段,上运动,且.将三角形沿折起,使点到达的位置,且平面平面.
(1)判断直线与平面的位置关系并证明;
(2)证明:的长度最短时,,分别为和的中点;
(3)当的长度最短时,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值.
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【题目】已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点,直线与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A、B的动点,直线AP、BP分别交直线于E、F两点,当点P在椭圆C上运动时,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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