【题目】如图所示,在直角梯形中,,,,,,两点分别在线段,上运动,且.将三角形沿折起,使点到达的位置,且平面平面.
(1)判断直线与平面的位置关系并证明;
(2)证明:的长度最短时,,分别为和的中点;
(3)当的长度最短时,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值.
【答案】(1)与平面平行,证明详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)分别在平面D1AE和平面BCE内,作MG//AE,交D1E于点G, NH//BC,交CE于点H,连接GH,则MG//NH.推导出四边形MNHG是平行四边形, 从而MN// GH.由此能求出MN与平面D1 CE平行;
(2) 推导出,从而当时,, 此时M,N分别是A D1和BE的中点;
(3)以E为坐标原点,分别以EA, EC, ED,所在直线为x, y, z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面D1MN与平面EMN所成角(锐角)的余弦值.
(1)与平面平行.
证明如下:分别在平面和平面内作交于点,
交于点,
连接,
∵,
∴.
设,
在中,,
则,
∴,
同理可求,
∴,
即四边形是平行四边形.
∴.
∵,,
∴平面.
(2)证明:∵平面平面,,
∴,
在中,,,
∴.
当时,.此时、分别是和的中点.
(2)以为坐标原点,分别以、、所在直线为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意知,,,,,,,.
∴,,
∴,,
设是平面的一个法向量,
由可得.取,可得.
设是平面的一个法向量,
由可得.取,可得.
∴,
∴平面与平面所成角(锐角)的余弦值.
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【题目】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.
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【题目】已知椭圆C:的离心率为,椭圆的左,右焦点分别为F1,F2,点M为椭圆上的一个动点,△MF1F2面积的最大值为,过椭圆外一点(m,0)(m>a)且倾斜角为的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求m的值.
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【题目】已知空间中两条直线,所成的角为,为空间中给定的一个定点,直线过点且与直线和直线所成的角都是,则下列选项正确的是( )
A.当时,满足题意的直线不存在
B.当时,满足题意的直线有且仅有1条
C.当时,满足题意的直线有且仅有2条
D.当时,满足题意的直线有且仅有3条
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【题目】某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作,则G可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元.
(1)求系统不需要维修的概率;
(2)该电子产品共由3个系统G组成,设E为电子产品需要维修的系统所需的费用,求的分布列与期望;
(3)为提高G系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C可以正常工作,问:满足什么条件时,可以提高整个G系统的正常工作概率?
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【题目】如图,平面平面,,四边形为平行四边形,,为线段的中点,点满足.
(Ⅰ)求证:直线平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且曲线y=f(x)在其与y轴的交点处的切线记为l1,曲线y=g(x)在其与x轴的交点处的切线记为l2,且l1∥l2.
(1)求l1,l2之间的距离;
(2)若存在x使不等式成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数f(x)和g(x)的公共定义域中的任意实数x0,称|f(x0)-g(x0)|的值为两函数在x0处的偏差.求证:函数f(x)和g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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