Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆的右焦点为，且离心率，过点且斜率为的直线交椭圆于点，两点，为的中点，过作直线的垂线，直线与直线相交于点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）证明：点在一条定直线上；

（3）当最大时，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）由焦点坐标、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）设，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而得到中点的坐标，进而得到直线方程，与直线方程联立后可求得点坐标，知点横坐标为定值，从而得到结论；

（3）利用直线和的斜率可结合两角和差正切公式表示出，利用基本不等式可求得的最大值，由取等条件可得此时的值和点坐标；利用弦长公式和点到直线距离公式分别求得三角形的底和高，进而得到所求面积.

（1）椭圆的右焦点为，.

又，，.

椭圆的标准方程为：.

（2）设，，中点，直线：，

联立方程组，化简得：，

，，

将代入直线的方程，得点的坐标为，

，直线的方程为.

直线过椭圆的右焦点且与直线垂直，直线的方程为.

解方程组得：，

点在定直线上.

（3）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.

由（2）可知：，.

.

当且仅当，即时取最大值，此时最大.

此时直线方程为，点为.

由（2）可得：，，，

弦长，到直线的距离，

.