Question

【题目】已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1）， ，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）试讨论函数F（x）在定义域D上的单调性；
（3）若关于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1）

要使函数有意义，则 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函数F（x）的定义域为（﹣1，1）．

令F（x）=0，则 …（*）

方程变为 ，（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3．

经检验x=﹣3是（*）的增根，∴方程（*）的解为x=0，

∴函数F（x）的零点为0

（2）解：由于函数 在定义域D上是增函数．可得：

①当a＞1时，由复合函数的单调性知：函数f（x）=loga（x+1），

在定义域D上是增函数．

∴函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数．

②当0＜a＜1时，由复合函数的单调性知：

函数f（x）=loga（x+1）， ，在定义域D上是减函数．

∴函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数

（3）解：问题等价于关于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解，

①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，

解得：m≤﹣1，或 ．

②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0，

解得： ．

综上所述，当0＜a＜1时： ；

当a＞1时，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用对数函数的定义域即可的得出，利用对数的运算法则即可得出函数的零点；（2）通过对a分类讨论，利用一次函数、反比例函数、对数函数的单调性即可得出复合函数F（x）的单调性；（3）利用（2）的函数F（x）的单调性可得其值域，进而转化为即一元二次不等式的解集．
【考点精析】掌握函数的定义域及其求法和函数单调性的判断方法是解答本题的根本，需要知道求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．