Question

（2013•蓟县二模）已知△ABC中的重心为O，直线MN过重心O，交线段AB于M，交线段AC于N其中

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，且

AO

=λ

AB

+μ

AC

，其中λ，μ为实数．则6m+3n的最小值为

3+2

2

．

Answer 1

分析：利用重心定理和向量共线定理、向量运算法则即可得出．

解答：解：如图所示，
设线段BC的中点为D，则

AO

=

2

3

AD

，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，∴

AO

=

1

3

AB

+

1

3

AC

，
①当MN∥BC时，m=n=

2

3

，∴6m+3n=6．
②当MN与BC不平行时，m，n≠

2

3

．由题意可知

1

2

≤m≤1．
设

OM

=s

MN

，

MN

=

AN

-

AM

，∴

OM

=s(

AN

-

AM

)=sm

AB

-sn

AC

则m

AB

=

AM

=

AO

+

OM

=

1

3

AB

+

1

3

AC

+sm

AB

-sn

AC

=(

1

3

+sm)

AB

+(

1

3

-sn)

AC

．
∴

m= 1 3 +sm 0= 1 3 -sn

，化为n=

m

3m-1

则6m+3n=6m+

3m

3m-1

=2(3m-1)+

1

3m-1

+3≥2

2(3m-1)• 1 3m-1

+3=3+2

2

，当且仅当

2+ 2

6

时取等号．
综上可知：6m+3n的最小值是3+2

2

．
故答案为3+2

2

．

点评：熟练掌握重心定理和向量共线定理、向量运算法则等是解题的关键．